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damas



Segunda-feira, 30.05.05

Solução do Curiosidades e Habilidades - 6

Por Lusodama

Recordamos a pergunta: Quantos quadrados existem no tabuleiro?

Esta é uma questão que encontramos muitas vezes em manuais escolares.

Ludoxer escreve: “A verdadeira resposta é (espantosamente) 204 (DUZENTOS E QUATRO)!!”

É claro que, no texto da semana passada, depreende-se que é um tabuleiro de damas clássicas.

A seguir tentaremos explicar como chegar à solução, mas antes deixamos três ideias.

Quando multiplicamos um número por ele próprio dizemos que calculamos o seu quadrado.

Aos quadrados dos números naturais chamamos números quadrados. O nome deve-se a podermos representá-los geometricamente com uma disposição de pontos em forma de quadrado, como sugere a imagem (usamos peças de damas em vez de pontos):

sol-cur-hab-6.jpg

Num tabuleiro de damas existe 1 quadrado (o maior) cujo lado é 8 vezes o lado duma casa,

existem 4 quadrados cujo lado é 7 vezes o lado duma casa,

existem 9 quadrados cujo lado é 6 vezes o lado duma casa,

existem 16 quadrados cujo lado é 5 vezes o lado duma casa,

existem 25 quadrados cujo lado é 4 vezes o lado duma casa,

existem 36 quadrados cujo lado é 3 vezes o lado duma casa,

existem 49 quadrados cujo lado é 2 vezes o lado duma casa,

existem 64 quadrados cujo lado é o lado duma casa (são os 64 “quadradinhos" que compõem o tabuleiro, 32 claros e 32 escuros).

Se calcularmos: 1+4+9+16+25+36+49+64 = 204.

Os números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 e 64 são os oito primeiros números quadrados.

As questões que se podem colocar em seguida são: E se fosse um tabuleiro de damas internacionais?  Ou um tabuleiro de damas canadianas? Ou um tabuleiro 20x20? Etc. Será que existe uma forma mais expedita de efectuar o cálculo?

A resposta é sim, pois prova-se que a soma dos n primeiros números quadrados pode obter-se assim: [n.(n+1).(2.n+1)]/6.

Para sabermos quantos quadrados há num tabuleiro 20x20, calculamos 1+4+9+...+400 (soma dos vinte primeiros números quadrados) ou apenas (20x21x41)/6=2870.

 

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por lusodama às 00:43


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